From d9cde7470e6e0fe22046bf3d2b7cf2aa8df34dc4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matt McKay Date: Mon, 3 Aug 2026 12:02:52 +1000 Subject: [PATCH 1/2] Update translation: lectures/exchangeable.md --- lectures/exchangeable.md | 413 +++++++++++++++++++++------------------ 1 file changed, 224 insertions(+), 189 deletions(-) diff --git a/lectures/exchangeable.md b/lectures/exchangeable.md index 71604161..2a96ea09 100644 --- a/lectures/exchangeable.md +++ b/lectures/exchangeable.md @@ -3,25 +3,31 @@ jupytext: text_representation: extension: .md format_name: myst + format_version: 0.13 + jupytext_version: 1.16.7 kernelspec: - display_name: Python 3 + display_name: Python 3 (ipykernel) language: python name: python3 translation: title: 可交换性和贝叶斯更新 headings: Overview: 概述 - Independently and Identically Distributed: 独立同分布 - Independently and Identically Distributed::IID Means Past Observations Don't Tell Us Anything About Future Observations: IID意味着过去的观测不能告诉我们任何关于未来观测的信息 - A Setting in Which Past Observations Are Informative: 过去观测具有信息性的情况 - Relationship Between IID and Exchangeable: IID和可交换之间的关系 + Independently and identically distributed: 独立同分布 + Independently and identically distributed::IID means past observations don't tell us anything about future observations: IID意味着过去的观测不能告诉我们任何关于未来观测的信息 + A setting in which past observations are informative: 过去观测具有信息性的情况 + Relationship between IID and exchangeable: IID和可交换之间的关系 Exchangeability: 可交换性 Bayes' Law: 贝叶斯定律 - More Details about Bayesian Updating: 关于贝叶斯更新的更多细节 + More details about Bayesian updating: 关于贝叶斯更新的更多细节 + More details about Bayesian updating::The likelihood ratio: 似然比 + More details about Bayesian updating::The densities and the probabilities of moving in each direction: 密度函数与各方向移动的概率 + More details about Bayesian updating::Dynamics of the belief: 信念的动态变化 + More details about Bayesian updating::Another instance: 另一个实例 Appendix: 附录 - Appendix::Sample Paths of $\pi_t$: $\pi_t$ 的样本路径 + Appendix::Sample paths of $\pi_t$: $\pi_t$ 的样本路径 Appendix::Rates of convergence: 收敛速率 - Appendix::Graph of Ensemble Dynamics of $\pi_t$: $\pi_t$ 的集合动态图 + Appendix::Graph of ensemble dynamics of $\pi_t$: $\pi_t$ 的集合动态图 Sequels: 后续内容 --- @@ -48,13 +54,13 @@ translation: DeFinetti的工作对经济学家的相关性在David Kreps的{cite}`Kreps88`第11章中得到了有力的阐述。 -我们在本讲座中研究的一个例子是{doc}`这个讲座 `的一个关键组成部分，它扩充了 +我们下面研究的一个例子是 {doc}`odu` 的一个关键组成部分。 -{doc}`classic ` McCall的经典工作搜索模型{cite}`McCall1970`通过为失业劳动者提供一个统计推断问题来展示。 +该讲座扩充了McCall的经典工作搜索模型{cite}`McCall1970`（在 {doc}`mccall_model` 中研究过），通过为失业劳动者提供一个统计推断问题来展示。 我们创建图表来说明似然比在贝叶斯定律中所起的作用。 -我们将使用这些图表来深入理解{doc}`本讲座 `中关于增强型McCall工作搜索模型中学习机制的运作原理。 +我们将使用这些图表来深入理解 {doc}`odu` 中驱动结果的运作机制。 除此之外，本讲座还讨论了随机变量序列的统计概念之间的联系，这些序列是： @@ -76,10 +82,9 @@ DeFinetti的工作对经济学家的相关性在David Kreps的{cite}`Kreps88`第 让我们从一些导入开始： -```{code-cell} ipython ---- -tags: [hide-output] ---- +```{code-cell} ipython3 +:tags: [hide-output] + import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf" @@ -87,11 +92,11 @@ mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH) plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC'] plt.rcParams["figure.figsize"] = (11, 5) #设置默认图形大小 -from numba import jit, vectorize from math import gamma + +import numpy as np import scipy.optimize as op from scipy.integrate import quad -import numpy as np ``` ## 独立同分布 @@ -249,7 +254,6 @@ $$ 所以过去确实包含了可以用来了解未来的信息。 - ## 可交换性 虽然序列 $W_0, W_1, \ldots$ 不是独立同分布的，但可以验证它是**可交换的**，这意味着"重新排序"的联合分布 $h(W_0, W_1)$ 和 $h(W_1, W_0)$ 满足 @@ -322,7 +326,7 @@ $$ $$ (eq_Bayes102) -等式{eq}`eq_Bayes102`源自贝叶斯法则，该法则告诉我们 +等式 {eq}`eq_Bayes102` 源自贝叶斯法则，该法则告诉我们 $$ \mathbb{P}\{q = f \,|\, W = w\} @@ -371,132 +375,179 @@ $$ 我们将绘制 $l\left(w\right)$ 来帮助我们理解学习过程是如何进行的——即，如何通过贝叶斯更新来更新自然选择分布 $f$ 的概率 $\pi$。 -为了创建完成工作所需的 Python 基础设施，我们构建一个包装函数，该函数可以根据 $f$ 和 $g$ 的参数显示信息丰富的图表。 +我们分三步构建这幅图景，每一步产生一张图表。 + +这三张图都是由相同的素材构建的：密度函数 $f$ 和 $g$，以及似然比 $l(w) = f(w)/g(w)$ 等于1时对应的 $w$ 值。 + +$f$ 和 $g$ 都是贝塔密度函数，所以我们先从一般的贝塔密度函数开始。 -```{code-cell} python3 -@vectorize -def p(x, a, b): - "通用贝塔分布函数。" +```{code-cell} ipython3 +def p(w, a, b): + "参数为a和b的贝塔密度函数。" r = gamma(a + b) / (gamma(a) * gamma(b)) - return r * x ** (a-1) * (1 - x) ** (b-1) + return r * w**(a - 1) * (1 - w)**(b - 1) +``` + +下一个函数为给定的一对贝塔分布组装素材。 -def learning_example(F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): +```{code-cell} ipython3 +def create_model(F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): """ - 一个包装函数，用于显示信念π的更新规则， - 给定指定F和G分布的参数。 + 构建密度函数f和g，以及似然比l(w) = f(w) / g(w) + 等于1时对应的两个w值。 """ + f = lambda w: p(w, F_a, F_b) + g = lambda w: p(w, G_a, G_b) - f = jit(lambda x: p(x, F_a, F_b)) - g = jit(lambda x: p(x, G_a, G_b)) + # g的众数将[0, 1]分为两个区间，每个区间各含一个根 + G_mode = (G_a - 1) / (G_a + G_b - 2) + obj = lambda w: f(w) / g(w) - 1 + roots = np.array([op.root_scalar(obj, bracket=[1e-10, G_mode]).root, + op.root_scalar(obj, bracket=[G_mode, 1 - 1e-10]).root]) + return f, g, roots +``` - # l(w) = f(w) / g(w) - l = lambda w: f(w) / g(w) - # 用于求解 l(w) = 1 的目标函数 - obj = lambda w: l(w) - 1 +### 似然比 - x_grid = np.linspace(0, 1, 100) - π_grid = np.linspace(1e-3, 1-1e-3, 100) +我们的第一张图将似然比 $l(w)$ 绘制在横坐标轴上，将 $w$ 绘制在纵坐标轴上。 - w_max = 1 - w_grid = np.linspace(1e-12, w_max-1e-12, 100) +我们采用这种方式绘制，以便 $w$ 能与接下来的两张图共享同一个坐标轴。 - # 贝塔分布的众数 - # 用它将w分成两个区间进行根查找 - G_mode = (G_a - 1) / (G_a + G_b - 2) - roots = np.empty(2) - roots[0] = op.root_scalar(obj, bracket=[1e-10, G_mode]).root - roots[1] = op.root_scalar(obj, bracket=[G_mode, 1-1e-10]).root - - fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5)) - - ax1.plot(l(w_grid), w_grid, label='$l$', lw=2) - ax1.vlines(1., 0., 1., linestyle="--") - ax1.hlines(roots, 0., 2., linestyle="--") - ax1.set_xlim([0., 2.]) - ax1.legend(loc=4) - ax1.set(xlabel='$l(w)=f(w)/g(w)$', ylabel='$w$') - - ax2.plot(f(x_grid), x_grid, label='$f$', lw=2) - ax2.plot(g(x_grid), x_grid, label='$g$', lw=2) - ax2.vlines(1., 0., 1., linestyle="--") - ax2.hlines(roots, 0., 2., linestyle="--") - ax2.legend(loc=4) - ax2.set(xlabel='$f(w), g(w)$', ylabel='$w$') - - area1 = quad(f, 0, roots[0])[0] - area2 = quad(g, roots[0], roots[1])[0] - area3 = quad(f, roots[1], 1)[0] - - ax2.text((f(0) + f(roots[0])) / 4, roots[0] / 2, f"{area1: .3g}") - ax2.fill_between([0, 1], 0, roots[0], color='blue', alpha=0.15) - ax2.text(np.mean(g(roots)) / 2, np.mean(roots), f"{area2: .3g}") - w_roots = np.linspace(roots[0], roots[1], 20) - ax2.fill_betweenx(w_roots, 0, g(w_roots), color='orange', alpha=0.15) - ax2.text((f(roots[1]) + f(1)) / 4, (roots[1] + 1) / 2, f"{area3: .3g}") - ax2.fill_between([0, 1], roots[1], 1, color='blue', alpha=0.15) +```{code-cell} ipython3 +def plot_likelihood_ratio(F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): + f, g, roots = create_model(F_a, F_b, G_a, G_b) + w_grid = np.linspace(1e-12, 1 - 1e-12, 100) - W = np.arange(0.01, 0.99, 0.08) - Π = np.arange(0.01, 0.99, 0.08) + fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) + ax.plot(f(w_grid) / g(w_grid), w_grid, label='$l$', lw=2) + ax.vlines(1, 0, 1, linestyle='--') + ax.hlines(roots, 0, 2, linestyle='--') + ax.set_xlim(0, 2) + ax.legend(loc=4) + ax.set(xlabel='$l(w) = f(w) / g(w)$', ylabel='$w$') + plt.show() +``` + +我们从 $f$ 是 $[0,1]$ 上的均匀分布（即参数为 $F_a=1, F_b=1$ 的贝塔分布）开始，而 $g$ 是参数为 $G_a=3, G_b=1.2$ 的贝塔分布。 + +```{code-cell} ipython3 +plot_likelihood_ratio() +``` + +两条水平虚线标记了 $l(w) = 1$ 时对应的 $w$ 值。 + +在这两条线之间，似然比小于1，因此根据{eq}`eq_Bayes103`，落在该区域的抽样会使 $\pi$ 向下推动。 + +在这两条线之外，似然比大于1，因此落在该区域的抽样会使 $\pi$ 向上推动。 - ΔW = np.zeros((len(W), len(Π))) - ΔΠ = np.empty((len(W), len(Π))) - for i, w in enumerate(W): - for j, π in enumerate(Π): - lw = l(w) - ΔΠ[i, j] = π * (lw / (π * lw + 1 - π) - 1) +### 密度函数与各方向移动的概率 - q = ax3.quiver(Π, W, ΔΠ, ΔW, scale=2, color='r', alpha=0.8) +我们的第二张图将 $f(w)$ 和 $g(w)$ 对 $w$ 进行绘制，并对由同样两个 $w$ 值划分出的区域进行着色。 - ax3.fill_between(π_grid, 0, roots[0], color='blue', alpha=0.15) - ax3.fill_between(π_grid, roots[0], roots[1], color='green', alpha=0.15) - ax3.fill_between(π_grid, roots[1], w_max, color='blue', alpha=0.15) - ax3.hlines(roots, 0., 1., linestyle="--") - ax3.set(xlabel=r'$\pi$', ylabel='$w$') - ax3.grid() +对这些区域着色使我们能够为每个移动方向赋予一个概率，我们通过在相关区域上对相应密度函数积分来计算这个概率。 +```{code-cell} ipython3 +def plot_densities(F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): + f, g, roots = create_model(F_a, F_b, G_a, G_b) + w_grid = np.linspace(0, 1, 100) + + fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) + ax.plot(f(w_grid), w_grid, label='$f$', lw=2) + ax.plot(g(w_grid), w_grid, label='$g$', lw=2) + ax.vlines(1, 0, 1, linestyle='--') + ax.hlines(roots, 0, 2, linestyle='--') + ax.legend(loc=4) + ax.set(xlabel='$f(w), g(w)$', ylabel='$w$') + + # 无论哪个密度函数被着色，落入各区域的概率 + area_lower = quad(f, 0, roots[0])[0] + area_middle = quad(g, roots[0], roots[1])[0] + area_upper = quad(f, roots[1], 1)[0] + + ax.fill_between([0, 1], 0, roots[0], color='blue', alpha=0.15) + ax.text((f(0) + f(roots[0])) / 4, roots[0] / 2, f"{area_lower: .3g}") + w_middle = np.linspace(roots[0], roots[1], 20) + ax.fill_betweenx(w_middle, 0, g(w_middle), color='orange', alpha=0.15) + ax.text(np.mean(g(roots)) / 2, np.mean(roots), f"{area_middle: .3g}") + ax.fill_between([0, 1], roots[1], 1, color='blue', alpha=0.15) + ax.text((f(roots[1]) + f(1)) / 4, (roots[1] + 1) / 2, f"{area_upper: .3g}") plt.show() ``` -现在我们将创建一组图表来说明贝叶斯定律所引发的动态变化。 - -我们将从Python函数的各种对象的默认值开始，然后在后续示例中对其进行修改。 +让我们来看看与之前相同的一对分布。 -```{code-cell} python3 -learning_example() +```{code-cell} ipython3 +plot_densities() ``` -请看上面的三个图表，这些图表是针对以下情况创建的：$f$ 是在 $[0,1]$ 上的均匀分布（即参数为 $F_a=1, F_b=1$ 的Beta分布），而 $g$ 是具有默认参数值 $G_a=3, G_b=1.2$ 的Beta分布。 +彩色区域中的分数是 $w$ 的实现值落入其旁边区域的概率。 + +蓝色区域是 $f$ 的积分，橙色区域是 $g$ 的积分。 + +例如，在真实分布$F$下，如果$w$落入区间$[0.524, 0.999]$，$\pi$将向$0$更新，这在$F$下发生的概率是$1 - .524 = .476$。 + +但如果$G$是真实分布，这种情况发生的概率将是$0.816$。 -左侧的图表将似然比 $l(w)$ 作为横坐标轴，将 $w$ 作为纵坐标轴进行绘制。 +### 信念的动态变化 -中间的图表将 $f(w)$ 和 $g(w)$ 对 $w$ 进行绘制，其中水平虚线显示了似然比等于1时的 $w$ 值。 +我们的第三张图在 $(\pi, w)$ 平面上的每个点附加一个箭头，显示当当前信念为 $\pi$ 且新的抽样为 $w$ 时，贝叶斯定律所引起的 $\pi$ 的变化。 -右侧的图表用向右的箭头表示贝叶斯定律使 $\pi$ 增加的情况，用向左的箭头表示贝叶斯定律使 $\pi$ 减少的情况。 +```{code-cell} ipython3 +def plot_belief_dynamics(F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): + f, g, roots = create_model(F_a, F_b, G_a, G_b) + π_grid = np.linspace(1e-3, 1 - 1e-3, 100) + + # 在(π, w)的粗网格上每个点的π变化量 + W = np.arange(0.01, 0.99, 0.08) + Π = np.arange(0.01, 0.99, 0.08) + lw = (f(W) / g(W))[:, None] # 每个w处的似然比，作为一列 + ΔΠ = Π * (lw / (Π * lw + 1 - Π) - 1) + ΔW = np.zeros_like(ΔΠ) + + fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) + ax.quiver(Π, W, ΔΠ, ΔW, scale=2, color='r', alpha=0.8) + ax.fill_between(π_grid, 0, roots[0], color='blue', alpha=0.15) + ax.fill_between(π_grid, roots[0], roots[1], color='green', alpha=0.15) + ax.fill_between(π_grid, roots[1], 1, color='blue', alpha=0.15) + ax.hlines(roots, 0, 1, linestyle='--') + ax.set(xlabel=r'$\pi$', ylabel='$w$') + ax.grid() + plt.show() +``` + +我们再次使用同样的一对分布。 + +```{code-cell} ipython3 +plot_belief_dynamics() +``` + +向右指的箭头表示贝叶斯定律使 $\pi$ 增加的情况，向左指的箭头表示贝叶斯定律使 $\pi$ 减少的情况。 箭头的长度表示贝叶斯定律驱使 $\pi$ 改变的力的大小。 这些长度取决于两个因素：横坐标轴上的先验概率 $\pi$，以及以当前 $w$ 值形式出现的证据（在纵坐标轴上）。 -中间图中彩色区域的分数分别表示在分布$F$和$G$下，$w$的实现值落入能将信念$\pi$向正确方向更新的区间的概率（即当$G$为真实分布时向$0$更新，当$F$为真实分布时向$1$更新）。 - -例如，在上述例子中，在真实分布$F$下，如果$w$落入区间$[0.524, 0.999]$，$\pi$将向$0$更新，这在$F$下发生的概率是$1 - .524 = .476$。 +在蓝色区域（$l(w) > 1$ 的地方），箭头指向右方；在虚线之间的绿色区域（$l(w) < 1$ 的地方），箭头指向左方。 -但如果$G$是真实分布，这种情况发生的概率将是$0.816$。 +对于这些参数，上方的蓝色区域是紧贴在 $w = 1$ 下方的一个薄片区域，因为只有在非常接近上限的抽样中，$l(w)$ 才会再次回升到大于1。 -橙色区域中的分数$0.816$是$g(w)$在这个区间上的积分。 +### 另一个实例 接下来我们使用代码为我们模型的另一个实例创建图形。 我们保持$F$与前一个实例相同，即均匀分布，但现在假设$G$是一个参数为$G_a=2, G_b=1.6$的Beta分布。 -```{code-cell} python3 -learning_example(G_a=2, G_b=1.6) +```{code-cell} ipython3 +plot_likelihood_ratio(G_a=2, G_b=1.6) +plot_densities(G_a=2, G_b=1.6) +plot_belief_dynamics(G_a=2, G_b=1.6) ``` -注意观察似然比、中间图表以及箭头与我们之前例子的对比。 +注意观察似然比、密度函数以及箭头与我们之前例子的对比。 ## 附录 + ### $\pi_t$ 的样本路径 现在我们将通过绘制 $\pi_t$ 的多个样本路径来进行一些有趣的探索，这些路径基于两种可能的自然分布选择假设： @@ -504,76 +555,64 @@ learning_example(G_a=2, G_b=1.6) - 自然永久从 $F$ 分布中抽取 - 自然永久从 $G$ 分布中抽取 -结果取决于似然比过程的一个特殊性质，这在[本讲座](https://python-advanced.quantecon.org/additive_functionals.html)中有详细讨论。 - -让我们编写一些Python代码。 - -```{code-cell} python3 -def function_factory(F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): - - # 定义 f 和 g - f = jit(lambda x: p(x, F_a, F_b)) - g = jit(lambda x: p(x, G_a, G_b)) - - @jit - def update(a, b, π): - "通过从参数为a和b的beta分布中抽样来更新π" +结果取决于似然比过程的一个特殊性质，这在 {doc}`advanced:additive_functionals` 中有详细讨论。 - # 抽样 - w = np.random.beta(a, b) +在进行模拟之前，值得将贝叶斯定律用**赔率**而非概率重新表述。 - # 更新信念 - π = 1 / (1 + ((1 - π) * g(w)) / (π * f(w))) +用赔率 $\pi / (1 - \pi)$ 表示，更新规则 {eq}`eq_Bayes102` 变为 - return π - - @jit - def simulate_path(a, b, T=50): - "模拟长度为T的信念π路径" - - π = np.empty(T+1) - - # 初始条件 - π[0] = 0.5 - - for t in range(1, T+1): - π[t] = update(a, b, π[t-1]) +```{math} +:label: eq_odds - return π +\frac{\pi_{t+1}}{1 - \pi_{t+1}} = l(w_{t+1}) \frac{\pi_{t}}{1 - \pi_{t}} +``` - def simulate(a=1, b=1, T=50, N=200, display=True): - "模拟N条长度为T的信念π路径" +因此贝叶斯定律在赔率上是*乘法*的，将 {eq}`eq_odds` 向前迭代回先验 $\pi_{-1}$，可得 - π_paths = np.empty((N, T+1)) - if display: - fig = plt.figure() +```{math} +:label: eq_odds_product - for i in range(N): - π_paths[i] = simulate_path(a=a, b=b, T=T) - if display: - plt.plot(range(T+1), π_paths[i], color='b', lw=0.8, alpha=0.5) +\frac{\pi_{t}}{1 - \pi_{t}} = \frac{\pi_{-1}}{1 - \pi_{-1}} \prod_{s=0}^{t} l(w_{s}) +``` - if display: - plt.show() +因此信念路径是似然比的累积乘积，这就是为什么似然比过程的性质决定了它的行为。 - return π_paths +这也意味着，我们可以使用累积乘积来模拟整个路径集合，而不需要按日期逐步迭代。 - return simulate +```{code-cell} ipython3 +def simulate(rng, a, b, T=50, N=1000, π_init=0.5, + F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): + """ + 在自然从 Beta(a, b) 中独立同分布抽取的情况下，模拟 N 条信念 π 在 T 个时期内的路径。 + 返回一个形状为 (N, T+1) 的数组，其第一列为共同的先验 π_init。 + """ + w = rng.beta(a, b, size=(N, T)) + l = p(w, F_a, F_b) / p(w, G_a, G_b) + odds = (π_init / (1 - π_init)) * np.cumprod(l, axis=1) + return np.column_stack([np.full(N, π_init), odds / (1 + odds)]) ``` -```{code-cell} python3 -simulate = function_factory() +以下函数用于绘制路径。 + +```{code-cell} ipython3 +def plot_paths(π_paths): + fig, ax = plt.subplots() + ax.plot(π_paths.T, color='b', lw=0.8, alpha=0.5) + ax.set(xlabel='$t$', ylabel=r'$\pi_t$') + plt.show() ``` 我们首先生成 $N$ 条模拟的 $\{\pi_t\}$ 路径，每条路径包含 $T$ 个时期，其中序列是真实的从分布 $F$ 中独立同分布抽取的。我们设定初始先验 $\pi_{-1} = .5$。 -```{code-cell} python3 +```{code-cell} ipython3 +rng = np.random.default_rng(42) T = 50 ``` -```{code-cell} python3 +```{code-cell} ipython3 # 当自然选择F时 -π_paths_F = simulate(a=1, b=1, T=T, N=1000) +π_paths_F = simulate(rng, a=1, b=1, T=T, N=1000) +plot_paths(π_paths_F) ``` 在上述例子中，对于大多数路径 $\pi_t \rightarrow 1$。 @@ -582,9 +621,10 @@ T = 50 接下来，当序列确实是来自 $G$ 的独立同分布抽样时，我们生成 $T$ 期的路径。同样，我们设定初始先验 $\pi_{-1} = .5$。 -```{code-cell} python3 +```{code-cell} ipython3 # 当自然选择G时 -π_paths_G = simulate(a=3, b=1.2, T=T, N=1000) +π_paths_G = simulate(rng, a=3, b=1.2, T=T, N=1000) +plot_paths(π_paths_G) ``` 在上图中我们观察到现在大多数路径 $\pi_t \rightarrow 0$。 @@ -597,11 +637,13 @@ T = 50 使用 $N$ 条模拟的 $\pi_t$ 路径，当数据是从 $F$ 中抽样生成时，我们在每个 $t$ 时刻计算 $1 - \sum_{i=1}^{N}\pi_{i,t}$，当数据是从 $G$ 中抽样生成时，我们计算 $\sum_{i=1}^{N}\pi_{i,t}$。 -```{code-cell} python3 -plt.plot(range(T+1), 1 - np.mean(π_paths_F, 0), label='F生成') -plt.plot(range(T+1), np.mean(π_paths_G, 0), label='G生成') -plt.legend() -plt.title("收敛"); +```{code-cell} ipython3 +fig, ax = plt.subplots() +ax.plot(range(T + 1), 1 - np.mean(π_paths_F, axis=0), label='F生成') +ax.plot(range(T + 1), np.mean(π_paths_G, axis=0), label='G生成') +ax.set(xlabel='$t$', title='收敛') +ax.legend() +plt.show() ``` 从上图可以看出，收敛速率似乎不依赖于是 $F$ 还是 $G$ 生成数据。 @@ -621,37 +663,30 @@ $$ 以下代码近似计算上述积分： -```{code-cell} python3 -def expected_ratio(F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): - - # define f and g - f = jit(lambda x: p(x, F_a, F_b)) - g = jit(lambda x: p(x, G_a, G_b)) - +```{code-cell} ipython3 +def plot_expected_ratio(F_a=1, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2): + # 直接构造 f 和 g：这里它们可能相同，此时 l(w) = 1 没有根 + f = lambda w: p(w, F_a, F_b) + g = lambda w: p(w, G_a, G_b) l = lambda w: f(w) / g(w) - integrand_f = lambda w, π: f(w) * l(w) / (π * l(w) + 1 - π) - integrand_g = lambda w, π: g(w) * l(w) / (π * l(w) + 1 - π) - π_grid = np.linspace(0.02, 0.98, 100) - expected_rario = np.empty(len(π_grid)) - for q, inte in zip(["f", "g"], [integrand_f, integrand_g]): - for i, π in enumerate(π_grid): - expected_rario[i]= quad(inte, 0, 1, args=(π,))[0] - plt.plot(π_grid, expected_rario, label=f"{q} generates") - - plt.hlines(1, 0, 1, linestyle="--") - plt.xlabel(r"$\pi_t$") - plt.ylabel(r"$E[\pi_{t+1}/\pi_t]$") - plt.legend() + fig, ax = plt.subplots() + for label, a in [('f', f), ('g', g)]: + integrand = lambda w, π: a(w) * l(w) / (π * l(w) + 1 - π) + ratios = [quad(integrand, 0, 1, args=(π,))[0] for π in π_grid] + ax.plot(π_grid, ratios, label=f'{label} generates') + ax.hlines(1, 0, 1, linestyle='--') + ax.set(xlabel=r'$\pi_t$', ylabel=r'$E[\pi_{t+1} / \pi_t]$') + ax.legend() plt.show() ``` 首先，考虑 $F_a=F_b=1$ 且 $G_a=3, G_b=1.2$ 的情况。 -```{code-cell} python3 -expected_ratio() +```{code-cell} ipython3 +plot_expected_ratio() ``` 上图显示，当数据由 $F$ 生成时，$\pi_t$ 平均总是向北移动，而当数据由 $G$ 生成时，$\pi_t$ 向南移动。 @@ -660,21 +695,21 @@ expected_ratio() 从某种意义上说，这里没有什么可学习的。 -```{code-cell} python3 -expected_ratio(F_a=3, F_b=1.2) +```{code-cell} ipython3 +plot_expected_ratio(F_a=3, F_b=1.2) ``` 上图表明 $\pi_t$ 是惰性的，保持在其初始值。 最后，让我们看一个 $f$ 和 $g$ 既不是非常不同也不完全相同的情况，特别是当 $F_a=2, F_b=1$ 且 $G_a=3, G_b=1.2$ 时。 -```{code-cell} python3 -expected_ratio(F_a=2, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2) +```{code-cell} ipython3 +plot_expected_ratio(F_a=2, F_b=1, G_a=3, G_b=1.2) ``` ## 后续内容 我们将在以下讲座中应用并深入探讨本讲座中提出的一些想法： -* {doc}`本讲座 ` 描述了**似然比过程**及其在频率派和贝叶斯统计理论中的作用 -* {doc}`本讲座 ` 研究了二战时期一位美国海军上尉的直觉，即海军要求他使用的（频率派）决策规则不如亚伯拉罕·瓦尔德尚未设计的序贯规则。 +* {doc}`likelihood_ratio_process` 描述了**似然比过程**及其在频率派和贝叶斯统计理论中的作用 +* {doc}`navy_captain` 研究了二战时期一位美国海军上尉的直觉，即海军要求他使用的（频率派）决策规则不如亚伯拉罕·瓦尔德尚未设计的序贯规则。 From 195946eca919a9c73c5cd917960550e3ee6c5a80 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matt McKay Date: Mon, 3 Aug 2026 12:02:53 +1000 Subject: [PATCH 2/2] Update translation: .translate/state/exchangeable.md.yml --- .translate/state/exchangeable.md.yml | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/.translate/state/exchangeable.md.yml b/.translate/state/exchangeable.md.yml index 01adef2c..11209f58 100644 --- a/.translate/state/exchangeable.md.yml +++ b/.translate/state/exchangeable.md.yml @@ -1,6 +1,6 @@ -source-sha: a137f5d12f0be3bdb39cec11bec221bf5b1861f7 -synced-at: "2026-07-18" +source-sha: 7e4c793ff2aec5aa1a73deac1c44b0d0f543fda9 +synced-at: "2026-08-03" model: claude-sonnet-5 -mode: RESYNC +mode: UPDATE section-count: 9 -tool-version: 0.17.0 +tool-version: 0.24.0